Упр.27 Раздел 6 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

В конусе даны радиус основания $$R$$ и высота $$H$$. В него вписана правильная треугольная призма, у которой боковые грани — квадраты. Найдите ребро призмы.

Подробный ответ

Пусть $$a$$ — ребро призмы.

Опустим высоту $$SO$$ конуса и высоту $$SO_1$$ призмы. Так как призма правильная треугольная, то её основание — равносторонний треугольник, а боковые грани — квадраты, значит высота призмы равна ребру: $$SO_1=a$$.

В основании призмы лежит равносторонний треугольник со стороной $$a$$, поэтому радиус его описанной окружности равен

$$O_1D=\frac{a\sqrt{3}}{3}.$$

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$SO_1D$$ и $$SOA$$. Они подобны, так как $$\angle SO_1D=\angle SOA=90^\circ$$ и угол при вершине $$S$$ общий. Тогда

$$\frac{OA}{O_1D}=\frac{SO}{SO_1}.$$

Подставим известные величины: $$OA=R$$, $$SO=H-a$$, $$SO_1=a$$:

$$\frac{R}{a\sqrt{3}/3}=\frac{H-a}{a}.$$

Отсюда

$$3R(H-a)=a^2\sqrt{3}.$$

Удобнее записать сразу в виде

$$\frac{R}{a\sqrt{3}/3}=\frac{H-a}{a}\;\Rightarrow\;3R= \sqrt{3}(H-a),$$

но, учитывая правильную пропорцию для подобных треугольников, получаем

$$\frac{a\sqrt{3}}{3R}=\frac{H-a}{H}.$$

Тогда

$$aH\sqrt{3}=3RH-3Ra,$$

$$a(3R+H\sqrt{3})=3RH,$$