Упр.27 Раздел 6 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: B конусе даны радиус основания R и высота H. B него вписана правильная треугольная призма, у которой боковые грани — квадраты. Найдите ребро призмы.

Подробный ответ

Пусть $$a$$ — ребро призмы. Так как боковые грани призмы — квадраты, то высота призмы равна $$a$$.

Основание призмы — правильный треугольник со стороной $$a$$. Тогда радиус его описанной окружности равен

$$OA=\frac{a\sqrt{3}}{3}.$$

Рассмотрим осевое сечение конуса, проходящее через его ось и вершину правильного треугольника основания призмы. Получаются подобные прямоугольные треугольники, поэтому

$$\frac{OA}{O_1D}=\frac{SO}{SO_1}.$$

Здесь $$O_1D=R$$, $$SO=H$$, а расстояние от вершины конуса до верхнего основания призмы равно $$SO_1=H-a$$. Тогда

$$\frac{a\sqrt{3}}{3R}=\frac{H-a}{H}.$$

Перемножим крест-накрест:

$$aH\sqrt{3}=3RH-3Ra,$$

$$a(3R+H\sqrt{3})=3RH.$$

Отсюда

$$a=\frac{3RH}{3R+H\sqrt{3}}.$$