Упр.27 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Известны углы, образуемые ребрами параллелепипеда, сходящимися в одной вершине. Как найти углы между ребрами, сходящимися в любой другой вершине?

Подробный ответ

Пусть при вершине $$A$$ углы между рёбрами параллелепипеда равны:

$$\angle A_1AD=\alpha,\qquad \angle A_1AB=\beta,\qquad \angle BAD=\gamma.$$

Все грани параллелепипеда — параллелограммы, поэтому противоположные грани равны, а соответствующие углы при параллельных прямых равны. Тогда для любой другой вершины получаем:

$$\angle D_1A_1B_1=\angle B_1C_1D_1=\angle BCD=\angle BAD=\gamma,$$

$$\angle CDD_1=\angle CC_1D_1=\angle BB_1A_1=\angle BAA_1=\beta,$$

$$\angle CBB_1=\angle CC_1B_1=\angle A_1D_1D=\angle A_1AD=\alpha.$$

Кроме того, смежные углы при вершинах параллелограмма дополняют друг друга до $$180^\circ$$, значит:

$$\angle AA_1D_1=\angle D_1DA=\angle C_1CB=\angle BB_1C_1=180^\circ-\alpha,$$

$$\angle AA_1B_1=\angle ABB_1=\angle DD_1C_1=\angle C_1CD=180^\circ-\beta,$$

$$\angle ABC=\angle ADC=\angle A_1B_1C_1=\angle C_1D_1A_1=180^\circ-\gamma.$$

Следовательно, углы между рёбрами, сходящимися в любой вершине параллелепипеда, либо равны данным углам $$\alpha,\beta,\gamma$$, либо дополняют их до $$180^\circ$$.