Упр.27 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. 3-27. Через вершину прямого угла $$C$$ прямоугольного треугольника $$ABC$$ проведена плоскость, параллельная гипотенузе, на расстоянии $$1\ \text{м}$$ от неё. Проекции катетов на эту плоскость равны $$3\ \text{м}$$ и $$5\ \text{м}$$. Найдите гипотенузу.

Пусть $$A_1$$ и $$B_1$$ — основания перпендикуляров, опущенных из точек $$A$$ и $$B$$ на плоскость $$\alpha$$. Тогда

$$AA_1=BB_1=1\text{ м}$$

Так как проекции катетов $$AC$$ и $$BC$$ на плоскость $$\alpha$$ равны $$3\text{ м}$$ и $$5\text{ м}$$, то

$$A_1C=3\text{ м}, \qquad B_1C=5\text{ м}.$$

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$AA_1C$$ и $$BB_1C$$:

$$CA^2=AA_1^2+A_1C^2=1^2+3^2=10,$$
$$CB^2=BB_1^2+B_1C^2=1^2+5^2=26.$$

В прямоугольном треугольнике $$ABC$$ по теореме Пифагора:

$$AB^2=AC^2+BC^2=10+26=36,$$
$$AB=\sqrt{36}=6\text{ м}.$$

Ответ: $$6\text{ м}$$.