Упр.27 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 10 класс, Просвещение: Через вершину прямого угла C прямоугольного треугольника ABC проведена плоскость, параллельная гипотенузе, на расстоянии 1 м от нее. Проекции катетов на эту плоскость равны 3 м и 5 м. Найдите гипотенузу.

Подробный ответ

Проведём перпендикуляры $$AA_1$$ и $$BB_1$$ к плоскости $$\alpha$$. Так как расстояние от гипотенузы до плоскости равно $$1$$ м, то

$$AA_1=BB_1=1.$$

Проекции катетов на плоскость равны $$3$$ м и $$5$$ м, значит

$$A_1C=3,\qquad B_1C=5.$$

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$AA_1C$$ и $$BB_1C$$:

$$CA^2=AA_1^2+A_1C^2=1^2+3^2=10,$$

$$CB^2=BB_1^2+B_1C^2=1^2+5^2=26.$$

Так как $$\angle C=90^\circ$$, то в треугольнике $$ABC$$ по теореме Пифагора

$$AB^2=CA^2+CB^2=10+26=36,$$

$$AB=\sqrt{36}=6.$$