Упр.26 Раздел 6 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. В конусе даны радиус основания $$R$$ и высота $$H$$. Найдите ребро вписанного в него куба (рис. 159).

Рассмотрим осевое сечение конуса. Оно представляет собой равнобедренный треугольник с основанием $$2R$$ и высотой $$H$$. В этот треугольник вписан прямоугольник, являющийся осевым сечением куба.

Пусть $$a$$ — ребро куба. Тогда в осевом сечении куба одна сторона прямоугольника равна $$a$$, а другая — диагональ грани куба, то есть $$a\sqrt{2}$$.

Из подобия треугольников, образованных осевым сечением конуса и сечением на уровне верхней грани куба, получаем:

$$\frac{a\sqrt{2}}{2R}=\frac{H-a}{H}$$

Перемножим крест-накрест:

$$H a\sqrt{2}=2RH-2Ra$$

$$a(H\sqrt{2}+2R)=2RH$$

$$a=\frac{2RH}{H\sqrt{2}+2R}=\frac{HR\sqrt{2}}{H+R\sqrt{2}}$$

Ответ: $$\frac{HR\sqrt{2}}{H+R\sqrt{2}}$$