Упр.26 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Докажите, что если прямая параллельна плоскости, то все ее точки находятся на одинаковом расстоянии от плоскости.

Возьмём на прямой $$a$$ две произвольные точки $$X$$ и $$Y$$ и опустим из них перпендикуляры на плоскость $$\alpha$$: $$XX’$$ и $$YY’$$. Тогда длины этих перпендикуляров равны расстояниям от точек $$X$$ и $$Y$$ до плоскости $$\alpha$$.

Так как $$XX’ \perp \alpha$$ и $$YY’ \perp \alpha$$, то прямые $$XX’$$ и $$YY’$$ параллельны. Следовательно, они лежат в одной плоскости $$\beta$$, которая пересекает плоскость $$\alpha$$ по прямой $$X’Y’$$.

Прямая $$a$$ параллельна прямой $$X’Y’$$, потому что $$a$$ не пересекает плоскость $$\alpha$$, а значит, не пересекает и прямую $$X’Y’$$, лежащую в этой плоскости.

Итак, четырёхугольник $$XX’Y’Y$$ — параллелограмм. Поэтому его противоположные стороны равны:

$$XX’ = YY’.$$

Но $$XX’$$ и $$YY’$$ — это расстояния от точек $$X$$ и $$Y$$ до плоскости $$\alpha$$. Значит, расстояния от любых двух точек прямой $$a$$ до плоскости $$\alpha$$ равны. Следовательно, все точки прямой $$a$$ находятся на одинаковом расстоянии от плоскости $$\alpha$$.