Упр.25 Раздел 6 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: У пирамиды все боковые ребра равны. Докажите, что она вписана в некоторый конус.

Подробный ответ

Опустим перпендикуляр $$SO$$ из вершины пирамиды на плоскость основания. Тогда точка $$O$$ — центр окружности, описанной около основания пирамиды.

Пусть боковое ребро пирамиды равно $$l$$, а его проекция на плоскость основания равна $$R$$, где $$R$$ — радиус описанной около основания окружности.

В прямоугольном треугольнике $$SOA$$, где $$A$$ — любая вершина основания, по теореме Пифагора получаем:

$$R^2=l^2-SO^2.$$

Значит, все боковые рёбра пирамиды образуют с высотой $$SO$$ одинаковый угол, а их основания лежат на окружности радиуса $$R$$ с центром в точке $$O$$. Следовательно, вершина пирамиды и окружность основания конуса имеют общий центр оси $$SO$$, а образующие конуса равны боковым рёбрам пирамиды.

Итак, данная пирамида вписана в некоторый конус с высотой, равной высоте пирамиды, и радиусом основания $$R=\sqrt{l^2-SO^2}$$.