Упр.25 Раздел 6 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. У пирамиды все боковые ребра равны. Докажите, что она вписана в некоторый конус.

Опустим из вершины пирамиды перпендикуляр $$SO$$ на плоскость основания. Тогда точка $$O$$ — центр окружности, описанной около основания пирамиды.

Пусть боковое ребро пирамиды равно $$l$$, а его проекция на плоскость основания равна $$R$$, то есть $$R$$ — радиус описанной около основания окружности.

В прямоугольном треугольнике с гипотенузой $$l$$ и катетами $$SO$$ и $$R$$ по теореме Пифагора получаем:

$$R=\sqrt{l^2-SO^2}.$$

Значит, все боковые рёбра пирамиды равны образующим некоторого конуса с вершиной в точке $$S$$, осью $$SO$$ и радиусом основания $$R$$. Основание пирамиды лежит в основании этого конуса, а вершины основания пирамиды лежат на окружности основания конуса.

Следовательно, данная пирамида вписана в некоторый конус.