Упр.25 Раздел 2 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что все прямые, проходящие через данную точку параллельно данной плоскости, лежат в одной плоскости.

Через данную точку $$B$$ проведём плоскость $$\beta$$, параллельную плоскости $$\alpha$$. Такая плоскость единственна.

Возьмём в плоскости $$\alpha$$ произвольную точку $$A$$ и проведём через неё две пересекающиеся прямые $$a$$ и $$a_1$$. Пусть через точку $$B$$ проходят прямые $$b$$ и $$b_1$$, причём $$b \parallel a$$ и $$b_1 \parallel a_1$$.

По теореме о параллельных прямых, лежащих в параллельных плоскостях, прямые $$b$$ и $$b_1$$ лежат в плоскости, параллельной $$\alpha$$. Но через точку $$B$$ такая плоскость единственна, значит, это плоскость $$\beta$$.

Следовательно, любые две прямые, проходящие через точку $$B$$ параллельно плоскости $$\alpha$$, лежат в одной плоскости $$\beta$$. Значит, все прямые, проходящие через данную точку параллельно данной плоскости, лежат в одной плоскости.