Упр.24 Раздел 9 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Прямая пересекает стороны AB, BC, CD и DA выпуклого четырехугольника ABCD или их продолжения соответственно в точках P, Q, R, S. Докажите, что образовавшиеся отрезки удовлетворяют соотношению.

Подробный ответ

Проведём диагональ $$AC$$ и обозначим через $$F$$ точку пересечения прямой с диагональю $$AC$$.

Рассмотрим треугольник $$ABC$$. Точки $$P$$, $$Q$$ и $$F$$ лежат на одной прямой, поэтому по теореме Менелая для треугольника $$ABC$$ имеем

$$\frac{AP}{PB}\cdot \frac{BQ}{QC}\cdot \frac{CF}{FA}=-1.$$

Отсюда

$$\frac{FA}{CF}=-\frac{AP}{PB}\cdot \frac{BQ}{QC}.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$ACD$$. Точки $$F$$, $$R$$ и $$S$$ также лежат на одной прямой, значит, по теореме Менелая для треугольника $$ACD$$

$$\frac{FA}{CF}\cdot \frac{CR}{RD}\cdot \frac{DS}{SA}=-1.$$

Подставим сюда найденное выражение для $$\frac{FA}{CF}$$:

$$-\frac{AP}{PB}\cdot \frac{BQ}{QC}\cdot \frac{CR}{RD}\cdot \frac{DS}{SA}=-1.$$

Следовательно,

$$\frac{AP}{PB}\cdot \frac{BQ}{QC}\cdot \frac{CR}{RD}\cdot \frac{DS}{SA}=1.$$