Упр.24 Раздел 8 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Из деревянного цилиндра, высота которого равна диаметру основания, выточен наибольший шар. Сколько процентов материала сточено?

Пусть радиус шара равен $$R$$. Тогда диаметр шара равен $$2R$$, а по условию высота цилиндра равна его диаметру, значит $$h=2R$$. Так как шар наибольший и вписан в цилиндр, радиус основания цилиндра тоже равен $$R$$.

Тогда объём шара:

$$V_{\text{ш}}=\frac{4}{3}\pi R^3$$

Объём цилиндра:

$$V_{\text{ц}}=\pi R^2\cdot h=\pi R^2\cdot 2R=2\pi R^3$$

Объём сточенного материала:

$$V_{\text{ст}}=V_{\text{ц}}-V_{\text{ш}}=2\pi R^3-\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{2}{3}\pi R^3$$

Найдём, какую часть от объёма цилиндра составляет сточенный материал:

$$\frac{V_{\text{ст}}}{V_{\text{ц}}}=\frac{\frac{2}{3}\pi R^3}{2\pi R^3}=\frac{1}{3}$$

Следовательно, сточено $$\frac{1}{3}$$ материала, то есть $$33\frac{1}{3}\%$$.

Ответ: $$33\frac{1}{3}\%$$.