Упр.24 Раздел 6 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Площади оснований усечённого конуса $$M$$ и $$m$$. Найдите площадь среднего сечения, параллельного основаниям.
Рассмотрим осевое сечение усечённого конуса. Это равнобедренная трапеция, у которой основания равны диаметрам оснований конуса:
$$BC=2R_1,\qquad AD=2R_2.$$
Площади оснований усечённого конуса равны $$m$$ и $$M$$, значит
$$\pi R_1^2=m,\qquad \pi R_2^2=M,$$
откуда
$$R_1=\sqrt{\frac{m}{\pi}},\qquad R_2=\sqrt{\frac{M}{\pi}}.$$
Тогда
$$BC=2\sqrt{\frac{m}{\pi}},\qquad AD=2\sqrt{\frac{M}{\pi}}.$$
Среднее сечение параллельно основаниям проходит через середину высоты, значит в осевом сечении оно является средней линией трапеции. Поэтому его длина равна
$$MN=\frac{BC+AD}{2}=\frac{2\sqrt{\frac{m}{\pi}}+2\sqrt{\frac{M}{\pi}}}{2}=\frac{\sqrt{m}+\sqrt{M}}{\sqrt{\pi}}.$$
Радиус среднего сечения равен половине этой длины:
$$r=\frac{MN}{2}=\frac{\sqrt{m}+\sqrt{M}}{2\sqrt{\pi}}.$$
Следовательно, площадь среднего сечения:
$$S=\pi r^2=\pi\left(\frac{\sqrt{m}+\sqrt{M}}{2\sqrt{\pi}}\right)^2=\frac{(\sqrt{M}+\sqrt{m})^2}{4}.$$
Ответ: $$\frac{(\sqrt{M}+\sqrt{m})^2}{4}$$.
