Упр.24 Раздел 2 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ пересекаются. Докажите, что любая плоскость $$\gamma$$ пересекает хотя бы одну из плоскостей $$\alpha$$, $$\beta$$.

Докажем утверждение от противного.

Пусть плоскость $$\gamma$$ не пересекает ни плоскость $$\alpha$$, ни плоскость $$\beta$$. Тогда $$\alpha \parallel \gamma$$ и $$\beta \parallel \gamma$$.

Так как плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ пересекаются, то существует точка $$A$$, принадлежащая обеим плоскостям: $$A \in \alpha$$ и $$A \in \beta$$.

Через точку $$A$$ проходят две различные плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$, обе параллельные плоскости $$\gamma$$. Но это невозможно: через одну точку можно провести только одну плоскость, параллельную данной плоскости.

Получили противоречие. Значит, предположение неверно, и любая плоскость $$\gamma$$ пересекает хотя бы одну из плоскостей $$\alpha$$ и $$\beta$$.