Упр.23 Раздел 9 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Прямая пересекает стороны BC, AC и AB треугольника ABC в точках A1, B1 и C1 соответственно. Докажите, что середины отрезков AA1, BB1, CC1 лежат на одной прямой.

Подробный ответ

Рассмотрим треугольник $$ABC$$. Прямая пересекает его стороны в точках $$A_1,\;B_1,\;C_1$$, причём эти точки лежат на одной прямой. Тогда по теореме Менелая для треугольника $$ABC$$ имеем

$$\frac{AC_1}{C_1B}\cdot \frac{BA_1}{A_1C}\cdot \frac{CB_1}{B_1A}=-1.$$

Обозначим середины отрезков $$AA_1,\;BB_1,\;CC_1$$ через $$D,\;E,\;F$$ соответственно. Проведём в треугольнике $$ABC$$ точки $$M,\;K,\;N$$ на сторонах $$AB,\;BC,\;CA$$ так, чтобы $$D,\;E,\;F$$ лежали на средних линиях $$MN,\;MK,\;NK$$ соответственно.

Так как $$D$$ — середина $$AA_1$$, а $$M$$ и $$E$$ — середины соответствующих сторон, то $$ME$$ — средняя линия треугольника $$AB_1B$$. Следовательно,

$$ME \parallel AB_1,\qquad ME=\frac{1}{2}AB_1.$$

Аналогично, в треугольнике $$B_1CK$$ получаем

$$EK \parallel B_1C,\qquad EK=\frac{1}{2}B_1C,$$

а также

$$NF \parallel C_1A,\qquad NF=\frac{1}{2}C_1A.$$

Кроме того, из свойств средних линий треугольников получаем

$$\frac{MD}{DN}=\frac{BA_1}{A_1C},\qquad \frac{EK}{ME}=\frac{B_1C}{AB_1},\qquad \frac{NF}{FK}=\frac{AC_1}{C_1B}.$$

Перемножим эти отношения:

$$\frac{NF}{FK}\cdot \frac{MD}{DN}\cdot \frac{EK}{ME} = \frac{AC_1}{C_1B}\cdot \frac{BA_1}{A_1C}\cdot \frac{CB_1}{B_1A}=-1.$$

По теореме Менелая для треугольника $$MNK$$ точки $$D,\;E,\;F$$ лежат на одной прямой.

Но $$D,\;E,\;F$$ — это середины отрезков $$AA_1,\;BB_1,\;CC_1$$. Значит, середины этих отрезков лежат на одной прямой.