Упр.23 Раздел 7 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

В правильной шестиугольной призме площадь наибольшего диагонального сечения равна $$4\ \text{м}^2$$, а расстояние между двумя противоположными боковыми гранями — $$2\ \text{м}$$. Найдите объём призмы.

Пусть $$A_1D_1DA$$ — наибольшее диагональное сечение призмы. Так как призма правильная, это сечение — прямоугольник, поэтому

$$S_{AA_1D_1D}=4\ \text{м}^2.$$

Обозначим через $$O$$ центр основания призмы. Тогда расстояние между противоположными боковыми гранями равно расстоянию между параллельными сторонами правильного шестиугольника, то есть

$$CH=2\ \text{м},$$

где $$H$$ — основание перпендикуляра из вершины $$C$$ на сторону $$AB$$.

В правильном шестиугольнике

$$\angle CAB=\frac{180^\circ(6-2)}{6}=120^\circ,$$

значит

$$\angle CAH=\frac12\angle CAB=60^\circ.$$

В прямоугольном треугольнике $$ACH$$:

$$AC=\frac{CH}{\sin\angle CAH}=\frac{2}{\sin 60^\circ}=\frac{2}{\sqrt3/2}=\frac{4\sqrt3}{3}.$$

Для правильного шестиугольника радиус описанной окружности равен стороне, поэтому

$$R=AC=\frac{4\sqrt3}{3}.$$

Тогда большая диагональ основания

$$AD=2R=\frac{8\sqrt3}{3}.$$

Из площади диагонального сечения:

$$S_{AA_1D_1D}=AD\cdot AA_1,$$

откуда

$$AA_1=\frac{4}{AD}=\frac{4}{8\sqrt3/3}=\sqrt3\ \text{м}.$$

Найдём площадь основания правильного шестиугольника:

$$S_{\text{осн}}=6\cdot \frac12\cdot AO^2\sin 60^\circ=6\cdot \frac12\cdot \left(\frac{4\sqrt3}{3}\right)^2\cdot \frac{\sqrt3}{2}=2\sqrt3\ \text{м}^2.$$

Тогда объём призмы равен

$$V=S_{\text{осн}}\cdot AA_1=2\sqrt3\cdot \sqrt3=6\ \text{м}^3.$$

Ответ: $$6\ \text{м}^3$$.