Упр.23 Раздел 6 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Площади оснований усеченного конуса 4 дм2 и 16 дм2. Через середину высоты проведена плоскость, параллельная основаниям. Найдите площадь сечения.

Подробный ответ

Обозначим радиусы оснований усечённого конуса через $$R_1$$ и $$R_2$$. Тогда площади оснований равны:

$$\pi R_1^2=4,\qquad \pi R_2^2=16.$$

Отсюда

$$R_1=\frac{2}{\sqrt{\pi}},\qquad R_2=\frac{4}{\sqrt{\pi}}.$$

Сечение плоскостью, проходящей через середину высоты и параллельной основаниям, является кругом, радиус которого меняется линейно по высоте. Значит, в середине высоты радиус равен среднему арифметическому радиусов оснований:

$$R=\frac{R_1+R_2}{2}=\frac{1}{2}\left(\frac{2}{\sqrt{\pi}}+\frac{4}{\sqrt{\pi}}\right)=\frac{3}{\sqrt{\pi}}.$$

Тогда площадь сечения:

$$S=\pi R^2=\pi\left(\frac{3}{\sqrt{\pi}}\right)^2=\pi\cdot\frac{9}{\pi}=9.$$