Упр.23 Раздел 6 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Площади оснований усечённого конуса $$4\ \text{дм}^2$$ и $$16\ \text{дм}^2$$. Через середину высоты проведена плоскость, параллельная основаниям. Найдите площадь сечения.

Пусть радиусы оснований усечённого конуса равны $$r_1$$ и $$r_2$$. Тогда

$$\pi r_1^2=4,\qquad \pi r_2^2=16.$$

Отсюда

$$r_1=\frac{2}{\sqrt{\pi}},\qquad r_2=\frac{4}{\sqrt{\pi}}.$$

Сечение плоскостью, проходящей через середину высоты и параллельной основаниям, является кругом. Его радиус равен среднему арифметическому радиусов оснований, так как в осевом сечении это средняя линия трапеции:

$$r=\frac{r_1+r_2}{2}=\frac{1}{2}\left(\frac{2}{\sqrt{\pi}}+\frac{4}{\sqrt{\pi}}\right)=\frac{3}{\sqrt{\pi}}.$$

Тогда площадь сечения:

$$S=\pi r^2=\pi\left(\frac{3}{\sqrt{\pi}}\right)^2=\pi\cdot\frac{9}{\pi}=9.$$

Ответ: $$9\ \text{дм}^2$$.