Упр.22 Раздел 8 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Требуется переплавить в один шар два чугунных шара с диаметрами $$25\ \text{см}$$ и $$35\ \text{см}$$. Найдите диаметр нового шара.

Объём шара вычисляется по формуле $$V=\frac{4}{3}\pi r^3.$$

Пусть диаметры исходных шаров равны $$d_1=25\text{ см}$$ и $$d_2=35\text{ см}.$$ Тогда их радиусы:

$$r_1=\frac{25}{2}, \qquad r_2=\frac{35}{2}.$$

Суммарный объём после переплавки не изменится, значит

$$\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{4}{3}\pi r_1^3+\frac{4}{3}\pi r_2^3.$$

Сократим на $$\frac{4}{3}\pi$$:

$$r^3=r_1^3+r_2^3=\left(\frac{25}{2}\right)^3+\left(\frac{35}{2}\right)^3.$$

Удобнее сразу найти диаметр нового шара $$d=2r$$:

$$\frac{4}{3}\pi\left(\frac{d}{2}\right)^3=\frac{4}{3}\pi\left(\frac{25}{2}\right)^3+\frac{4}{3}\pi\left(\frac{35}{2}\right)^3,$$

откуда

$$d^3=25^3+35^3.$$

Вычислим:

$$d^3=15625+42875=58500,$$

$$d=\sqrt[3]{58500}\approx 39.$$

Ответ: $$39\text{ см}.$$