Упр.22 Раздел 7 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Сторона основания правильной треугольной призмы равна $$a$$, боковая поверхность равновелика сумме оснований. Найдите ее объем.

Пусть основание призмы — правильный треугольник со стороной $$a$$, а высота призмы равна $$h$$.

Площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы равна

$$S_{\text{бок}}=P_{\text{осн}}\cdot h=3a\cdot h.$$

Площадь одного основания:

$$S_{\text{осн}}=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2.$$

По условию боковая поверхность равновелика сумме оснований, значит

$$3ah=2S_{\text{осн}}=2\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}a^2=\frac{\sqrt{3}}{2}a^2.$$

Отсюда

$$h=\frac{\sqrt{3}}{6}a.$$

Теперь найдём объём призмы:

$$V=S_{\text{осн}}\cdot h=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2\cdot \frac{\sqrt{3}}{6}a=\frac{3a^3}{24}=\frac{a^3}{8}.$$

Ответ: $$\frac{a^3}{8}$$.