Упр.22 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 10 класс, Просвещение: Найдите геометрическое место оснований наклонных данной длины, проведенных из данной точки к плоскости.

Пусть из точки $$S$$ к плоскости $$\alpha$$ проведены наклонные одинаковой длины и их основания лежат в точках $$A$$, $$B$$, $$C$$.

Опустим из точки $$S$$ перпендикуляр $$SO$$ на плоскость $$\alpha$$.

Рассмотрим, например, наклонную $$SA$$. В прямоугольном треугольнике $$SOA$$ имеем:

$$SA^2=SO^2+OA^2.$$

Так как длина наклонной $$SA$$ одинакова для всех таких наклонных, а $$SO$$ — одна и та же, то расстояние $$OA$$ тоже постоянно. Аналогично получаем:

$$OB=OC=OA.$$

Значит, все основания наклонных одной длины находятся на одинаковом расстоянии от точки $$O$$, то есть лежат на окружности с центром в точке $$O$$.

Следовательно, геометрическое место оснований наклонных данной длины, проведённых из точки $$S$$ к плоскости $$\alpha$$, — окружность в плоскости $$\alpha$$ с центром в основании перпендикуляра $$SO$$.

Ответ: окружность с центром в основании перпендикуляра, опущенного из точки $$S$$ на плоскость $$\alpha$$.