Упр.21 Раздел 9 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. На медиане $$CM$$ треугольника $$ABC$$ дана точка $$P$$, через которую проведены прямые $$AP$$ и $$BP$$, пересекающие стороны $$BC$$ и $$AC$$ треугольника в точках $$A’$$ и $$B’$$ соответственно. Докажите, что если $$AA’=BB’$$, то данный треугольник равнобедренный.

Пусть прямые $$CM,$$ $$AA’$$ и $$BB’$$ пересекаются в точке $$P.$$ Тогда по теореме Чевы для треугольника $$ABC$$ имеем

$$\frac{AM}{MB}\cdot \frac{BA’}{A’C}\cdot \frac{CB’}{B’A}=1.$$

Так как $$CM$$ — медиана, то $$AM=MB,$$ значит

$$\frac{BA’}{A’C}\cdot \frac{CB’}{B’A}=1,$$

откуда

$$\frac{BA’}{A’C}=\frac{B’A}{CB’}.$$

По условию $$AA’=BB’,$$ а значит

$$BA’=BA+AA’, \qquad B’A=AB+BB’.$$

Следовательно, $$BA’=B’A,$$ и потому из предыдущего равенства получаем

$$\frac{BA’}{A’C}=\frac{BA’}{CB’}.$$

Значит, $$A’C=CB’.$

Рассмотрим треугольники$$AA’C$$и$$BB’C.$$У них

$$\angle ACA’=\angle BCA’=\angle C,$$

так как точки$$A’, B’$$лежат соответственно на сторонах$$CB$$и$$CA.$$Кроме того,

$$\frac{AC}{BC}=\frac{A’C}{CB’}.$$

А из$$AA’=BB’$$следует, что

$$\frac{AA’}{BB’}=1.$$

Следовательно, треугольники$$AA’C$$и$$BB’C$$подобны, а при равенстве соответствующих сторон — равны. Отсюда

$$AC=BC.$$

Итак, треугольник$$ABC$$равнобедренный.

Ответ

$$AC=BC,$$значит$$\triangle ABC$$ равнобедренный.