Упр.21 Раздел 7 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение:

Пусть основание правильной четырёхугольной призмы — квадрат $$ABCD$$, а боковое ребро — $$CC_1$$.

Так как призма правильная, то $$CC_1 \perp (ABCD)$$, значит $$CC_1 \perp DC$$ и $$CC_1 \perp AD$$. Тогда по теореме о трёх перпендикулярах $$C_1D \perp AD$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AC_1D$$. По теореме Пифагора:

$$ AD=\sqrt{AC_1^2-C_1D^2}=\sqrt{3{,}5^2-2{,}5^2}=\sqrt{12{,}25-6{,}25}=\sqrt6\ \text{см}. $$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$DC_1C$$. Тогда

$$ CC_1=\sqrt{DC_1^2-DC^2}. $$

Так как $$DC=AD=\sqrt6$$, получаем

$$ CC_1=\sqrt{2{,}5^2-6}=\sqrt{6{,}25-6}=\sqrt{0{,}25}=0{,}5\ \text{см}. $$

Площадь основания призмы равна

$$ S_{ABCD}=AD^2=6\ \text{см}^2. $$

Тогда объём призмы:

$$ V=S_{ABCD}\cdot CC_1=6\cdot 0{,}5=3\ \text{см}^3. $$

Ответ

$$3\ \text{см}^3$$