Упр.21 Раздел 6 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Образующая усеченного конуса равна 2а и наклонена к основанию под углом 60°. Радиус одного основания вдвое больше радиуса другого основания. Найдите радиусы.

Подробный ответ

Рассмотрим осевое сечение усечённого конуса. Это равнобедренная трапеция, у которой боковые стороны равны образующей:

$$AB=CD=2a.$$

Пусть $$R$$ — радиус большего основания, $$r$$ — радиус меньшего основания. По условию

$$R=2r.$$

Опустим из точки $$B$$ перпендикуляр $$BM$$ на основание $$AD$$. Тогда $$BM\perp AD$$, а треугольник $$ABM$$ прямоугольный. Угол между образующей и основанием равен $$60^\circ$$, значит

$$\angle BAM=60^\circ.$$

В прямоугольном треугольнике $$ABM$$ имеем:

$$AM=AB\cdot \cos 60^\circ=2a\cdot \frac12=a.$$

Но отрезок $$AM$$ равен разности радиусов оснований:

$$AM=R-r.$$

С учётом $$R=2r$$ получаем:

$$R-r=2r-r=r.$$

Следовательно,

$$r=a,$$

а тогда

$$R=2r=2a.$$