Упр.21 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 10 класс, Просвещение: Расстояния от точки A до вершин квадрата равны а. Найдите расстояние от точки A до плоскости квадрата, если сторона квадрата равна b.

Подробный ответ

Так как $$AB=AC=AD=AF=a,$$ то точка $$O$$ — центр окружности, описанной около треугольников $$BCD$$ и $$BFD.$$ Поскольку вершины этих треугольников являются вершинами квадрата $$ABCD,$$ точка $$O$$ совпадает с центром описанной окружности квадрата, то есть является точкой пересечения его диагоналей.

Следовательно, $$OB=\frac{1}{2}BD.$$

Найдём диагональ квадрата. В прямоугольном треугольнике $$BFD$$:

$$ BD=\sqrt{BF^2+DF^2}=\sqrt{b^2+b^2}=b\sqrt{2}. $$

Тогда

$$ OB=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}\cdot b\sqrt{2}=\frac{b}{\sqrt{2}}. $$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$AOB$$, где $$AO \perp ABCD.$$ По теореме Пифагора:

$$ AO=\sqrt{AB^2-OB^2} =\sqrt{a^2-\left(\frac{b}{\sqrt{2}}\right)^2} =\sqrt{a^2-\frac{b^2}{2}}. $$