Упр.21 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. 3-21. Расстояния от точки $$A$$ до вершин квадрата равны $$a$$. Найдите расстояние от точки $$A$$ до плоскости квадрата, если сторона квадрата равна $$b$$.

Так как $$AB=AC=AD=AF=a,$$ то точка $$A$$ равноудалена от всех вершин квадрата $$BCDF$$. Следовательно, она лежит на перпендикуляре к плоскости квадрата, проведённом через центр его описанной окружности. Обозначим этот центр через $$O$$. Тогда $$AO \perp (BCDF)$$, а значит, $$AO$$ — искомое расстояние от точки $$A$$ до плоскости квадрата.

У квадрата центр описанной окружности — точка пересечения диагоналей, поэтому $$O$$ — середина диагонали $$BD$$. Найдём $$OB$$.

Диагональ квадрата со стороной $$b$$ равна

$$BD=\sqrt{BF^2+FD^2}=\sqrt{b^2+b^2}=b\sqrt{2}.$$

Тогда

$$OB=\frac{1}{2}BD=\frac{b\sqrt{2}}{2}.$$

В прямоугольном треугольнике $$AOB$$ по теореме Пифагора:

$$AO=\sqrt{AB^2-OB^2} =\sqrt{a^2-\left(\frac{b\sqrt{2}}{2}\right)^2} =\sqrt{a^2-\frac{b^2}{2}}.$$

Ответ: $$\sqrt{a^2-\frac{b^2}{2}}.$$