Упр.21 Раздел 2 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что геометрическое место середин отрезков с концами на двух скрещивающихся прямых есть плоскость, параллельная этим прямым (рис. 34).
Пусть на прямой $$a$$ взяты точки $$A$$ и $$C$$, а на прямой $$b$$ — точки $$B$$ и $$D$$. Обозначим через $$M$$, $$N$$ и $$K$$ середины отрезков $$AB$$, $$BC$$ и $$CD$$ соответственно.
Через точки $$M$$, $$N$$ и $$K$$ проведём плоскость $$\gamma$$.
Рассмотрим треугольник $$ABC$$. Так как $$M$$ и $$N$$ — середины его сторон $$AB$$ и $$BC$$, то $$MN$$ — средняя линия треугольника $$ABC$$. Следовательно,
$$MN \parallel AC.$$
Аналогично, в треугольнике $$BCD$$ точки $$N$$ и $$K$$ — середины сторон $$BC$$ и $$CD$$, значит,
$$NK \parallel BD.$$
Но $$AC \subset a$$ и $$BD \subset b$$, поэтому прямые $$MN$$ и $$NK$$ лежат в плоскости $$\gamma$$ и соответственно параллельны прямым $$a$$ и $$b$$.
Так как в плоскости $$\gamma$$ есть две пересекающиеся прямые $$MN$$ и $$NK$$, параллельные соответственно прямым $$a$$ и $$b$$, то всякая точка, являющаяся серединой отрезка с концами на $$a$$ и $$b$$, лежит в этой плоскости. Значит, геометрическое место таких середин есть плоскость $$\gamma$$.
Остаётся заметить, что эта плоскость параллельна прямым $$a$$ и $$b$$, поскольку содержит прямые, параллельные им.
Ответ: геометрическое место середин отрезков с концами на скрещивающихся прямых $$a$$ и $$b$$ — плоскость, параллельная этим прямым.
