Упр.20 Раздел 9 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Через каждую вершину треугольника проведена прямая, которая делит его периметр пополам. Докажите, что эти прямые пересекаются в одной точке.

Подробный ответ

Пусть прямые, проведённые через вершины $$A,$$ $$B,$$ $$C,$$ пересекают противоположные стороны треугольника в точках $$A’,$$ $$B’,$$ $$C’$$ соответственно.

Так как каждая из этих прямых делит периметр треугольника пополам, то

$$AC’ + C’B = AB’ + B’A + A’C,$$
$$BA’ + A’C = BC’ + C’A + A’B,$$
$$CB’ + B’A = CA’ + A’B + B’C.$$

Из первого и третьего равенств вычтем второе. Получим

$$AB’ — BA’ = BA’ — AB’,$$
откуда
$$AB’ = BA’.$$

Аналогично из тех же соотношений следует

$$A’C = AC’,$$
$$B’C = CB’.$$

Теперь рассмотрим произведение отношений:

$$\frac{AC’}{C’B}\cdot \frac{BA’}{A’C}\cdot \frac{CB’}{B’A} = \frac{AC’}{C’B}\cdot \frac{BA’}{A’C}\cdot \frac{CB’}{B’A} =1.$$

Следовательно, по теореме Чевы прямые $$AA’,$$ $$BB’,$$ $$CC’$$ пересекаются в одной точке.