Упр.20 Раздел 7 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Деревянная плита в форме правильного восьмиугольника со стороной 3,2 см и толщиной 0,7 см имеет массу 17,3 г. Найдите плотность дерева.

Плита имеет форму правильной восьмиугольной призмы. Обозначим через $$O$$ центр основания, а через $$H$$ — основание перпендикуляра, опущенного из $$O$$ на сторону $$AB$$.

В треугольнике $$ABO$$ угол при вершине $$O$$ равен

$$\angle BOA=\frac{360^\circ}{8}=45^\circ.$$

Так как $$OH \perp AB$$, то в равнобедренном треугольнике $$ABO$$ отрезок $$OH$$ является также биссектрисой, поэтому

$$\angle BOH=\frac{45^\circ}{2}=22^\circ 30′.$$

Кроме того,

$$HB=\frac{AB}{2}=\frac{3{,}2}{2}=1{,}6\text{ см}.$$

Тогда из прямоугольного треугольника $$BHO$$:

$$\tg \angle BOH=\frac{HB}{OH},$$

откуда

$$OH=\frac{HB}{\tg 22^\circ 30′}=\frac{1{,}6}{\tg 22^\circ 30′}.$$

Площадь основания правильного восьмиугольника равна сумме площадей 8 равных треугольников:

$$S=8\cdot S_{AOB}=8\cdot \frac12 \cdot AB \cdot OH=4\cdot AB \cdot OH.$$

Подставим значения:

$$S=4\cdot 3{,}2\cdot \frac{1{,}6}{\tg 22^\circ 30′}=\frac{20{,}48}{\tg 22^\circ 30′}\approx 49{,}0\text{ см}^2.$$

Объём плиты:

$$V=S\cdot h\approx 49{,}0\cdot 0{,}7\approx 34{,}3\text{ см}^3.$$

Плотность дерева:

$$\rho=\frac{m}{V}=\frac{17{,}3}{34{,}3}\approx 0{,}5\text{ г/см}^3.$$

Ответ

$$0{,}5\text{ г/см}^3$$