Упр.20 Раздел 7 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Деревянная плита в форме правильного восьмиугольника со стороной $$3{,}2\ \text{см}$$ и толщиной $$0{,}7\ \text{см}$$ имеет массу $$17{,}3\ \text{г}$$. Найдите плотность дерева.

Плита имеет форму правильной восьмиугольной призмы, поэтому её объём равен произведению площади основания на толщину.

Пусть $$O$$ — центр правильного восьмиугольника, а $$H$$ — середина стороны $$AB$$. Тогда $$OH \perp AB$$, и в прямоугольном треугольнике $$BOH$$

$$HB=\frac{AB}{2}=\frac{3{,}2}{2}=1{,}6\text{ см}.$$

Угол при центре:

$$\angle BOH=\frac{360^\circ}{8}\cdot\frac12=22^\circ30′.$$

Тогда

$$\tg \angle BOH=\frac{HB}{OH},$$
$$OH=\frac{HB}{\tg 22^\circ30′}=\frac{1{,}6}{\tg 22^\circ30′}.$$

Площадь основания правильного восьмиугольника:

$$S=8\cdot S_{AOB}=8\cdot \frac12\cdot AB\cdot OH=4\cdot AB\cdot OH.$$

Подставим:

$$S=4\cdot 3{,}2\cdot \frac{1{,}6}{\tg 22^\circ30′}=\frac{20{,}48}{\tg 22^\circ30′}\approx 49{,}0\text{ см}^2.$$

Объём плиты:

$$V=S\cdot h\approx 49{,}0\cdot 0{,}7\approx 34{,}3\text{ см}^3.$$

Плотность:

$$\rho=\frac{m}{V}=\frac{17{,}3}{34{,}3}\approx 0{,}5\text{ г/см}^3.$$

Ответ: $$0{,}5\text{ г/см}^3$$.