Упр.20 Раздел 4 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 10 класс, Просвещение: Докажите, что преобразование симметрии относительно плоскости есть движение.

Подробный ответ

Пусть точки $$A’$$ и $$B’$$ симметричны точкам $$A$$ и $$B$$ относительно плоскости $$\alpha$$.

Тогда прямые $$AA’$$ и $$BB’$$ перпендикулярны плоскости $$\alpha$$, а значит, параллельны между собой.

Обозначим точки пересечения прямых $$AA’$$ и $$BB’$$ с плоскостью $$\alpha$$ через $$C$$ и $$C_1$$ соответственно. Тогда четырёхугольники $$ACC_1B$$ и $$CA’B’C_1$$ — прямоугольные трапеции.

По свойству симметрии имеем $$AC=A’C$$ и $$BC_1=B’C_1$$, а отрезок $$CC_1$$ — общий. Следовательно, трапеции $$ACC_1B$$ и $$CA’B’C_1$$ равны, откуда

$$AB=A’B’.$$

Значит, расстояние между любыми двумя точками сохраняется при симметрии относительно плоскости. Следовательно, это преобразование является движением.