Упр.20 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 10 класс, Просвещение: B равнобедренном треугольнике основание и высота равны 4 м. Данная точка находится на расстоянии 6 м от плоскости треугольника и на равном расстоянии от его вершин. Найдите это расстояние.

Подробный ответ

Пусть $$O$$ — центр описанной окружности треугольника $$ABC$$. Так как точка $$S$$ равноудалена от вершин $$A$$, $$B$$ и $$C$$, то она лежит на перпендикуляре к плоскости $$ABC$$, проведённом через точку $$O$$. Значит, $$SO \perp (ABC)$$ и $$SO=6$$ м.

Найдём радиус описанной окружности треугольника $$ABC$$.

Треугольник $$ABC$$ равнобедренный, а высота $$AH=4$$ м делит основание пополам, поэтому

$$BH=HC=\frac{BC}{2}=\frac{4}{2}=2.$$

Тогда по теореме Пифагора

$$AB=AC=\sqrt{AH^2+BH^2}=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}.$$

Для равнобедренного треугольника радиус описанной окружности равен

$$R=\frac{AB\cdot AC\cdot BC}{4S}.$$

Найдём площадь треугольника:

$$S=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot AH=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 4=8.$$

Тогда

$$R=\frac{\sqrt{20}\cdot \sqrt{20}\cdot 4}{4\cdot 8}=\frac{20\cdot 4}{32}=2{,}5.$$

Следовательно, $$OA=OB=OC=2{,}5$$ м. В прямоугольном треугольнике $$AOS$$: