Упр.20 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. 3-20. В равнобедренном треугольнике основание и высота равны 4 м. Данная точка находится на расстоянии 6 м от плоскости треугольника и на равном расстоянии от его вершин. Найдите это расстояние.

Так как точка равноудалена от всех вершин треугольника, её проекция на плоскость треугольника совпадает с центром описанной окружности $$O$$. Тогда $$OA=OB=OC=R$$.

Найдём боковую сторону равнобедренного треугольника. Пусть $$AH$$ — высота к основанию $$BC$$, тогда $$BH=HC=\frac{BC}{2}=2$$. По теореме Пифагора:

$$AB=AC=\sqrt{AH^2+BH^2}=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}.$$

Радиус описанной окружности равнобедренного треугольника:

$$R=\frac{AB^2}{\sqrt{4AB^2-BC^2}}=\frac{20}{\sqrt{4\cdot 20-16}}=\frac{20}{\sqrt{64}}=\frac{20}{8}=2{,}5.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$AOS$$, где $$SO=6$$ м. Тогда

$$SA=\sqrt{OA^2+SO^2}=\sqrt{2{,}5^2+6^2}=\sqrt{6{,}25+36}=\sqrt{42{,}25}=6{,}5.$$

Ответ: $$6{,}5$$ м.