Упр.20 Раздел 2 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Через данную точку пространства проведите прямую, пересекающую каждую из двух скрещивающихся прямых (рис. 33). Всегда ли это возможно?

Через прямую $$a$$ и точку $$M$$ проведём плоскость $$\alpha$$, а через прямую $$b$$ и точку $$M$$ — плоскость $$\beta$$.

Плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ пересекаются по прямой $$d$$, проходящей через точку $$M$$. Эта прямая и будет искомой, так как она лежит в плоскости $$\alpha$$ и пересекает прямую $$a$$, а также лежит в плоскости $$\beta$$ и пересекает прямую $$b$$.

Однако такое построение возможно не всегда. Если одна из прямых $$a$$ или $$b$$ параллельна прямой $$d$$, то прямая $$d$$ не пересечёт эту прямую, и задача не имеет решения.

Если же точка $$M$$ принадлежит одной из прямых $$a$$ или $$b$$, то через неё можно провести бесконечно много прямых, пересекающих обе скрещивающиеся прямые.

Ответ

Искомую прямую получают как линию пересечения плоскостей, проведённых через $$M$$ и каждую из прямых $$a$$ и $$b$$. Всегда это возможно не бывает: при параллельности одной из прямых $$a$$ или $$b$$ прямой $$d$$ решения нет; если $$M \in a$$ или $$M \in b$$, решений бесконечно много.