Упр.20 Раздел 2 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Дано: Две скрещивающиеся прямые a и b;M-произвольная точка
пространства;
Построить: Через точку M прямую, пересекающую прямые a и b;
Решение:
1) Через прямую a и точку M построим плоскость (теорема 1.1),
а также через прямую b и точку M-плоскость;
2) Проведем прямую пересечения двух плоскостей d-искомую;
3) Если одна из прямых a или b параллельна прямой d, то задача не
имеет решения;
4) Если точка M принадлежит прямой a или b, то задача имеет
бесконечное количество решений;

Через прямую $$a$$ и точку $$M$$ проведём плоскость $$\alpha$$, а через прямую $$b$$ и точку $$M$$ — плоскость $$\beta$$.

Пусть $$d=\alpha\cap\beta$$. Тогда прямая $$d$$ проходит через точку $$M$$. Кроме того, так как $$a\subset\alpha$$ и $$b\subset\beta$$, то искомая прямая должна пересекать обе данные прямые.

Если одна из прямых $$a$$ или $$b$$ параллельна прямой $$d$$, то прямая через $$M$$, пересекающая обе скрещивающиеся прямые, не существует.

Если же точка $$M$$ принадлежит одной из прямых $$a$$ или $$b$$, то через неё можно провести бесконечно много прямых, пересекающих вторую прямую, поэтому решений будет бесконечно много.

Следовательно, провести через данную точку пространства прямую, пересекающую каждую из двух скрещивающихся прямых, можно не всегда.

Ответ

Не всегда. Если одна из прямых $$a$$ или $$b$$ параллельна прямой $$d=\alpha\cap\beta$$, то решения нет; если $$M\in a$$ или $$M\in b$$, то решений бесконечно много.