Упр.2 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: У трехгранного угла (abc) двугранный угол при ребре с прямой, двугранный угол при ребре b равен ф, а плоскийугол (bc) равен у(ф, у < Пи/2). Найдите другие плоские углы:а = угол(ab), P = угол(ac).

Подробный ответ

Пусть из произвольной точки $A$ ребра $a$ опущены перпендикуляры $$AB \perp b,\qquad AC \perp c.$$

По теореме о трёх перпендикулярах из условия $$CB \perp b.$$

Рассмотрим прямоугольные треугольники $OBC$, $ABC$ и $OAB$.

В треугольнике $OBC$ имеем

$$\tg \gamma=\frac{BC}{OB},\qquad \cos \varphi=\frac{OB}{OC}.$$

Отсюда

$$OB=\frac{BC}{\tg \gamma},\qquad OC=\frac{BC}{\sin \gamma}.$$

Тогда для угла $\alpha=\angle(ab)$:

$$\tg \alpha=\frac{AB}{OB}=\frac{BC/\cos \varphi}{BC/\tg \gamma}=\frac{\tg \gamma}{\cos \varphi}.$$

Для угла $\beta=\angle(ac)$:

$$\tg \beta=\frac{AC}{OC}=\frac{BC\cdot \tg \varphi}{BC/\sin \gamma}=\tg \varphi \cdot \sin \gamma.$$