Упр.2 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. У трёхгранного угла \(abc\) двугранный угол при ребре \(c\) прямой, двугранный угол при ребре \(b\) равен $$\varphi$$, а плоский угол $$\angle(bc)=\gamma$$, $$\varphi,\gamma<\frac{\pi}{2}$$. Найдите другие плоские углы: $$\alpha=\angle(ab),\ \beta=\angle(ac)$$.

Пусть из точки $$A$$ ребра $$a$$ опущены перпендикуляры $$AB$$ на ребро $$b$$ и $$AC$$ на ребро $$c$$. Тогда по теореме о трёх перпендикулярах имеем $$CB \perp b$$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$OAB$$, $$OCB$$, $$OAC$$ и $$ABC$$. Тогда

$$\tg \alpha=\frac{AB}{OB}=\frac{BC}{OB}=\frac{BC}{BC\cdot \ctg \gamma}=\frac{\tg \gamma}{\cos \varphi},$$

$$\tg \beta=\frac{AC}{OC}=\frac{BC\cdot \tg \varphi}{BC/\sin \gamma}=\tg \varphi \cdot \sin \gamma.$$

Следовательно,

$$\tg \alpha=\frac{\tg \gamma}{\cos \varphi}, \qquad \tg \beta=\tg \varphi \cdot \sin \gamma.$$

Ответ: $$\tg \alpha=\dfrac{\tg \gamma}{\cos \varphi}, \quad \tg \beta=\tg \varphi \cdot \sin \gamma.$$