Упр.2 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 10 класс, Просвещение: Докажите, что через любую точку прямой в пространстве можно провести две различные перпендикулярные ей прямые

Подробный ответ

Пусть $$A$$ — произвольная точка на прямой $$a$$.

Возьмём точку $$X$$, не лежащую на прямой $$a$$, и проведём через прямую $$a$$ и точку $$X$$ плоскость $$\alpha$$.

В плоскости $$\alpha$$ через точку $$A$$ можно провести прямую $$b$$, перпендикулярную прямой $$a$$.

Теперь возьмём точку $$Y$$, не принадлежащую ни прямой $$a$$, ни плоскости $$\alpha$$, и проведём через прямую $$a$$ и точку $$Y$$ плоскость $$\beta$$.

В плоскости $$\beta$$ через точку $$A$$ можно провести прямую $$d$$, перпендикулярную прямой $$a$$.

Прямые $$b$$ и $$d$$ различны, так как они лежат в разных плоскостях $$\alpha$$ и $$\beta$$, но обе перпендикулярны прямой $$a$$.

Следовательно, через любую точку прямой в пространстве можно провести две различные прямые, перпендикулярные этой прямой.