Упр.2 Раздел 9 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Даны две стороны и угол между ними. Найдите остальные два угла и третью сторону, если:

1. $$b=14,\ c=10,\ A=145^\circ$$;
2. $$a=32,\ c=23,\ B=152^\circ$$;
3. $$a=24,\ c=18,\ B=15^\circ$$.

Используем теорему косинусов для нахождения третьей стороны и теорему синусов для нахождения остальных углов.

1. $$b=14,\ c=10,\ \alpha=145^\circ$$

   По теореме косинусов:

   $$a=\sqrt{b^2+c^2-2bc\cos\alpha} =\sqrt{14^2+10^2-2\cdot14\cdot10\cos145^\circ} \approx \sqrt{525{,}36}\approx 22{,}9.$$

   По теореме синусов:

   $$\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma},$$
   значит
   $$\sin\beta=\frac{b\sin\alpha}{a},\qquad \sin\gamma=\frac{c\sin\alpha}{a}.$$

   $$\sin\beta=\frac{14\cdot\sin145^\circ}{22{,}9}\approx \frac{14\cdot0{,}573}{22{,}9}\approx 0{,}3503,$$
   откуда $$\beta\approx 21^\circ.$$

   $$\sin\gamma=\frac{10\cdot\sin145^\circ}{22{,}9}\approx \frac{10\cdot0{,}573}{22{,}9}\approx 0{,}2502,$$
   откуда $$\gamma\approx 15^\circ.$$

2. $$a=32,\ c=23,\ \beta=152^\circ$$

   По теореме косинусов:

   $$b=\sqrt{a^2+c^2-2ac\cos\beta} =\sqrt{32^2+23^2-2\cdot32\cdot23\cos152^\circ} \approx \sqrt{2852{,}69}\approx 53{,}4.$$

   По теореме синусов:

   $$\sin\alpha=\frac{a\sin\beta}{b},\qquad \sin\gamma=\frac{c\sin\beta}{b}.$$

   $$\sin\alpha=\frac{32\cdot\sin152^\circ}{53{,}4}\approx \frac{32\cdot0{,}469}{53{,}4}\approx 0{,}281,$$
   откуда $$\alpha\approx 16^\circ.$$

   $$\sin\gamma=\frac{23\cdot\sin152^\circ}{53{,}4}\approx \frac{23\cdot0{,}469}{53{,}4}\approx 0{,}202,$$
   откуда $$\gamma\approx 12^\circ.$$

3. $$a=24,\ c=18,\ \beta=15^\circ$$

   По теореме косинусов:

   $$b=\sqrt{a^2+c^2-2ac\cos\beta} =\sqrt{24^2+18^2-2\cdot24\cdot18\cos15^\circ} \approx \sqrt{65{,}44}\approx 8{,}09.$$

   По теореме синусов:

   $$\sin\gamma=\frac{c\sin\beta}{b} =\frac{18\cdot\sin15^\circ}{8{,}09} \approx \frac{18\cdot0{,}258}{8{,}09}\approx 0{,}574,$$
   откуда $$\gamma\approx 35^\circ.$$

   Тогда

   $$\alpha=180^\circ-\beta-\gamma=180^\circ-15^\circ-35^\circ\approx 130^\circ.$$

Ответ: 1) $$a\approx 22{,}9,\ \beta\approx 21^\circ,\ \gamma\approx 15^\circ$$; 2) $$b\approx 53{,}4,\ \alpha\approx 16^\circ,\ \gamma\approx 12^\circ$$; 3) $$b\approx 8{,}09,\ \alpha\approx 130^\circ,\ \gamma\approx 35^\circ$$.