Упр.19 Раздел 7 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: По стороне основания а и боковому ребру b найдите объем правильной призмы: 1) треугольной; 2) четырехугольной; 3) шестиугольной.
Объём любой призмы равен произведению площади основания на высоту:
$$V=S_{\text{осн}}\cdot h.$$
У правильной призмы боковое ребро перпендикулярно основанию, значит $$h=b.$$
Основание правильной призмы — правильный многоугольник со стороной $$a$$. Его площадь равна
$$S_{\text{осн}}=\frac{n a^2}{4\tg\left(\frac{180^\circ}{n}\right)},$$
где $$n$$ — число сторон основания.
1) Треугольная призма ($$n=3$$).
Основание — равносторонний треугольник, поэтому
$$S_{\text{осн}}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}.$$
Тогда
$$V=S_{\text{осн}}\cdot b=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot b=\frac{ba^2\sqrt{3}}{4}.$$
2) Четырёхугольная призма ($$n=4$$).
Основание — квадрат, значит
$$S_{\text{осн}}=a^2.$$
Следовательно,
$$V=a^2\cdot b=ba^2.$$
3) Шестиугольная призма ($$n=6$$).
Площадь правильного шестиугольника со стороной $$a$$ равна
$$S_{\text{осн}}=\frac{3a^2\sqrt{3}}{2}.$$
Тогда
$$V=S_{\text{осн}}\cdot b=\frac{3a^2\sqrt{3}}{2}\cdot b=\frac{3ba^2\sqrt{3}}{2}.$$
Ответ
$$1)\ \frac{ba^2\sqrt{3}}{4};\quad 2)\ ba^2;\quad 3)\ \frac{3ba^2\sqrt{3}}{2}.$$