Упр.19 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Сторона основания правильной четырехугольной призмы равна $$15$$, высота равна $$20$$. Найдите кратчайшее расстояние от стороны основания до не пересекающей её диагонали призмы (рис. 119).

Рассмотрим плоскость $$A_1B_1CD$$ и плоскость $$ABMN$$, перпендикулярную ей.

Так как $$NA \perp AB$$ и $$MB \perp AB$$ по теореме о трёх перпендикулярах, а также $$AN=BM$$, то $$ABMN$$ — прямоугольник.

Обозначим через $$O$$ точку пересечения диагонали $$NM$$ с диагональю $$A_1C$$. Проведём $$OK \perp AB$$. Тогда $$OK=BM$$, а значит, $$OK$$ — искомое кратчайшее расстояние.

Найдём $$BM$$.

В прямоугольном треугольнике $$BB_1C$$:

$$B_1C=\sqrt{BB_1^2+BC^2}=\sqrt{20^2+15^2}=25.$$

Площадь треугольника $$BB_1C$$ по формуле Герона:

$$p=\frac{20+15+25}{2}=30,$$
$$S_{BB_1C}=\sqrt{p(p-20)(p-15)(p-25)}=\sqrt{30\cdot 10\cdot 15\cdot 5}=150.$$

С другой стороны,

$$S_{BB_1C}=\frac{1}{2}B_1C\cdot BM.$$

Тогда

$$BM=\frac{2S_{BB_1C}}{B_1C}=\frac{2\cdot 150}{25}=12.$$

Следовательно, искомое расстояние равно $$12$$.

Ответ: $$12$$.