Упр.19 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 10 класс, Просвещение: Стороны равностороннего треугольника равны 3 м. Найдите расстояние до плоскости треугольника от точки, которая находится на расстоянии 2 м от каждой из его вершин.

Подробный ответ

Пусть $$O$$ — центр описанной окружности треугольника $$ABC$$. Так как $$\triangle ABC$$ равносторонний, то точка $$O$$ равноудалена от всех его вершин, а радиус описанной окружности равен

$$OA=R=\frac{AB}{\sqrt{3}}=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}\text{ м}.$$

Поскольку точка $$S$$ находится на одинаковом расстоянии от вершин $$A$$, $$B$$ и $$C$$, то прямая $$SO$$ перпендикулярна плоскости $$ABC$$. Следовательно, $$\triangle AOS$$ прямоугольный, и по теореме Пифагора

$$SO=\sqrt{SA^2-OA^2}=\sqrt{2^2-(\sqrt{3})^2}=\sqrt{4-3}=1\text{ м}.$$