Упр.19 Раздел 2 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- 2-19. Докажите, что через две скрещивающиеся прямые $$a$$ и $$b$$ можно провести параллельные плоскости.
Пусть через прямую $$a$$ проведена плоскость $$\alpha$$. Возьмём на прямой $$a$$ произвольную точку и через неё в плоскости $$\alpha$$ проведём прямую $$c$$, параллельную прямой $$b$$. Такая прямая существует по теореме о проведении через точку прямой, параллельной данной.
Теперь через прямую $$b$$ проведём плоскость $$\beta$$ так, чтобы в ней лежала прямая $$d$$, пересекающая $$b$$ и параллельная прямой $$a$$. Тогда прямые $$a$$ и $$d$$ пересекаются, а прямые $$c$$ и $$b$$ тоже пересекаются, причём $$a \parallel d$$ и $$c \parallel b$$.
Следовательно, две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости. По признаку параллельности плоскостей получаем:
$$\alpha \parallel \beta.$$
Значит, через две скрещивающиеся прямые можно провести параллельные плоскости.
