Упр.18 Раздел 7 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

В параллелепипеде длины трех ребер, исходящих из одной вершины, равны $$a$$, $$b$$, $$c$$. Ребра $$a$$ и $$b$$ взаимно перпендикулярны, а ребро $$c$$ образует с каждым из них угол $$\alpha$$ (рис. 175). Найдите объем параллелепипеда.

Обозначим через $$A_1$$ вершину параллелепипеда, из которой выходят рёбра $$AA_1= c$$, $$AB=a$$ и $$AD=b$$, причём $$AB \perp AD$$, а ребро $$AA_1$$ образует с каждым из них угол $$\alpha$$.

Опустим перпендикуляр $$A_1O$$ на плоскость основания. Проведём в основании перпендикуляры $$A_1M \perp AD$$ и $$A_1K \perp AB$$. Тогда по теореме о трёх перпендикулярах имеем $$OM \perp AD$$ и $$OK \perp AB$$.

Из прямоугольных треугольников $$\triangle AA_1M$$ и $$\triangle AA_1K$$ получаем:

$$AM=AK=AA_1\cos\alpha=c\cos\alpha.$$

В треугольнике $$\triangle AMO$$ угол между прямыми $$AM$$ и $$AO$$ равен $$45^\circ$$, поэтому

$$AO=\frac{AM}{\cos 45^\circ}=\frac{c\cos\alpha}{\frac{\sqrt2}{2}}=c\sqrt2\cos\alpha.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$\triangle AA_1O$$:

$$A_1O=\sqrt{AA_1^2-AO^2} =\sqrt{c^2-2c^2\cos^2\alpha} =c\sqrt{1-2\cos^2\alpha} =c\sqrt{-\cos 2\alpha}.$$

Площадь основания параллелепипеда равна

$$S=AB\cdot AD=ab.$$

Тогда объём параллелепипеда:

$$V=S\cdot A_1O=ab\cdot c\sqrt{-\cos 2\alpha}.$$

Ответ: $$abc\sqrt{-\cos 2\alpha}.$$