Упр.18 Раздел 7 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: B параллелепипеде длины трех ребер, исходящих из одной вершины, равны а, b, с. Ребра а и b взаимно перпендикулярны, а ребро с образует с каждым из них угол а (рис. 175). Найдите объем параллелепипеда.

Подробный ответ

Обозначим вершину параллелепипеда, из которой выходят рёбра $$a$$, $$b$$ и $$c$$, через $$A$$. Пусть $$AB=a$$, $$AD=b$$, $$AA_1=c$$, причём $$AB \perp AD$$, а угол между ребром $$AA_1$$ и каждым из рёбер $$AB$$ и $$AD$$ равен $$\alpha$$.

Опустим из точки $$A_1$$ перпендикуляр $$A_1O$$ на плоскость основания. Тогда $$O$$ — проекция точки $$A_1$$ на основание.

Проведём в плоскости основания перпендикуляры $$A_1M \perp AD$$ и $$A_1K \perp AB$$. По теореме о трёх перпендикулярах получаем:

$$OM \perp AD,\qquad OK \perp AB.$$

Из прямоугольных треугольников $$\triangle AA_1M$$ и $$\triangle AA_1K$$ имеем:

$$AM=AK=AA_1\cos\alpha=c\cos\alpha.$$

В треугольнике $$\triangle AMO$$ и $$\triangle AKO$$ катет $$AO$$ общий, а $$AM=AK$$, значит эти треугольники равны. Тогда

$$\angle MAO=\angle KAO=\frac{90^\circ}{2}=45^\circ.$$

Следовательно,

$$AO=\frac{AM}{\cos 45^\circ}=\frac{c\cos\alpha}{\cos 45^\circ}=c\sqrt{2}\cos\alpha.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$\triangle AA_1O$$:

$$A_1O=\sqrt{AA_1^2-AO^2}=\sqrt{c^2-2c^2\cos^2\alpha}=c\sqrt{1-2\cos^2\alpha}=c\sqrt{-\cos 2\alpha}.$$

Площадь основания параллелепипеда равна