Упр.18 Раздел 6 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Образующая конуса $$13\ \text{см}$$, высота $$12\ \text{см}$$. Конус пересечен прямой, параллельной основанию; расстояние от нее до основания равно $$6\ \text{см}$$, а до высоты — $$2\ \text{см}$$. Найдите отрезок прямой, заключенный внутри конуса (рис. 158).

Рассмотрим осевое сечение конуса. Пусть прямая пересекает конус в точках $$B$$ и $$D$$, тогда $$BD$$ — искомый отрезок.

В прямоугольном треугольнике $$COA$$:

$$OA=\sqrt{CA^2-CO^2}=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{169-144}=5\text{ см}.$$

Проведём через $$BD$$ плоскость, параллельную основанию конуса. Тогда отсечённый ею конус подобен данному. Обозначим центр малого основания через $$O_1$$. Из условия расстояние от прямой до основания равно $$6$$ см, значит

$$CO_1=12-6=6\text{ см}.$$

По подобию конусов:

$$\frac{O_1A_1}{OA}=\frac{CO_1}{CO},$$

откуда

$$O_1A_1=\frac{OA\cdot CO_1}{CO}=\frac{5\cdot 6}{12}=2{,}5\text{ см}.$$

Проведём $$O_1M\perp BD$$. По условию расстояние от прямой до высоты равно $$2$$ см, значит $$O_1M=2$$ см. В прямоугольном треугольнике $$BO_1M$$:

$$BM=\sqrt{O_1B^2-O_1M^2}=\sqrt{2{,}5^2-2^2}=\sqrt{6{,}25-4}=1{,}5\text{ см}.$$

Так как $$\triangle ABD$$ равнобедренный, то

$$BD=2BM=2\cdot 1{,}5=3\text{ см}.$$

Ответ: $$3\text{ см}$$.