Упр.18 Раздел 6 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Образующая конуса 13 см, высота 12 см. Конус пересечен прямой, параллельной основанию; расстояние от нее до основания равно 6 см, а до высоты — 2 см. Найдите отрезок прямой, заключенный внутри конуса (рис. 158).

Обозначим через $$BD$$ искомый отрезок прямой, заключённый внутри конуса.

В прямоугольном треугольнике $$COA$$ имеем:

$$OA=\sqrt{CA^2-CO^2}=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{169-144}=5\text{ см}.$$

Проведём через $$BD$$ плоскость, параллельную основанию конуса. Тогда отсечённый ею конус подобен данному. Следовательно,

$$\triangle CO_1A_1 \sim \triangle COA,$$

откуда

$$\frac{O_1A_1}{OA}=\frac{CO_1}{CO}.$$

Так как расстояние от секущей прямой до основания равно $$6\text{ см}$$, то

$$CO_1=CO-6=12-6=6\text{ см}.$$

Тогда

$$O_1A_1=OA\cdot \frac{CO_1}{CO}=5\cdot \frac{6}{12}=2{,}5\text{ см}.$$

Пусть $$O_1M \perp BD$$. По условию расстояние от прямой до высоты равно $$2\text{ см}$$, значит

$$O_1M=2\text{ см}.$$

В прямоугольном треугольнике $$BO_1M$$:

$$BM=\sqrt{BO_1^2-O_1M^2}=\sqrt{2{,}5^2-2^2}=\sqrt{6{,}25-4}=1{,}5\text{ см}.$$

Так как $$\triangle ABD$$ равнобедренный, то

$$BD=2BM=2\cdot 1{,}5=3\text{ см}.$$

Ответ

$$3\text{ см}$$