Упр.18 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 10 класс, Просвещение: Из точки S вне плоскости а проведены к ней три равные наклонные SA, SB, SC и перпендикуляр SO. Докажите, что основание перпендикуляра O является центром окружности, описанной около треугольника ABC.

Подробный ответ

Так как $$SO \perp \alpha,$$ а точки $$A,$$ $$B,$$ $$C$$ лежат в плоскости $$\alpha,$$ то прямые $$OA,$$ $$OB$$ и $$OC$$ лежат в этой плоскости. Следовательно,

$$SO \perp OA,\quad SO \perp OB,\quad SO \perp OC.$$

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$SOA,$$ $$SOB$$ и $$SOC.$$ У них:

$$SA=SB=SC$$ — по условию,
$$SO$$ — общий катет.

Значит, $$\triangle SOA \cong \triangle SOB \cong \triangle SOC$$ по гипотенузе и катету. Отсюда

$$OA=OB=OC.$$

Итак, точка $$O$$ равноудалена от вершин треугольника $$ABC,$$ значит, она является центром окружности, описанной около $$\triangle ABC.$$