Упр.18 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Из точки $$S$$ вне плоскости $$\alpha$$ проведены к ней три равные наклонные $$SA$$, $$SB$$, $$SC$$ и перпендикуляр $$SO$$. Докажите, что основание перпендикуляра $$O$$ является центром окружности, описанной около треугольника $$ABC$$.

Подробный ответ

Так как $$SO \perp \alpha,$$ то прямая $$SO$$ перпендикулярна любой прямой плоскости $$\alpha,$$ проходящей через точку $$O.$$ В частности,

$$SO \perp OA,\quad SO \perp OB,\quad SO \perp OC.$$

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$\triangle SOA,$$ $$\triangle SOB$$ и $$\triangle SOC.$$ У них:

$$SA=SB=SC$$ — по условию,
$$SO$$ — общий катет.

Следовательно, $$\triangle SOA \cong \triangle SOB \cong \triangle SOC$$ по гипотенузе и катету. Отсюда

$$OA=OB=OC.$$

Значит, точки $$A,$$ $$B$$ и $$C$$ равноудалены от точки $$O,$$ а потому $$O$$ является центром окружности, описанной около треугольника $$ABC.$$