Упр.18 Раздел 2 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что прямая, пересекающая одну из двух параллельных плоскостей, пересекает и другую.

Пусть прямая $$a$$ пересекает плоскость $$\alpha$$ в точке $$A$$.

Проведём через точку $$A$$ произвольную прямую $$b$$, лежащую в плоскости $$\alpha$$ и отличную от $$a$$. Тогда прямые $$a$$ и $$b$$ пересекаются, значит, они лежат в одной плоскости, обозначим её $$\gamma$$.

Плоскости $$\gamma$$ и $$\beta$$ пересекаются по некоторой прямой $$c$$. Так как плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ параллельны, то прямая $$b$$, лежащая в плоскости $$\alpha$$, не может пересекать плоскость $$\beta$$. Следовательно, прямые $$b$$ и $$c$$ не пересекаются, а значит, $$b \parallel c$$.

Но прямая $$a$$ пересекает прямую $$b$$ и, следовательно, не может быть параллельна прямой $$c$$, параллельной $$b$$. Значит, $$a$$ пересекает прямую $$c$$, а так как $$c \subset \beta$$, то прямая $$a$$ пересекает и плоскость $$\beta$$.

Итак, если прямая пересекает одну из двух параллельных плоскостей, то она пересекает и другую.