Упр.17 Раздел 9 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: 17. Докажите с помощью теоремы Чевы, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Подробный ответ

Пусть $$AA’$$, $$BB’$$ и $$CC’$$ — медианы треугольника $$ABC$$. Тогда точки $$A’$$, $$B’$$ и $$C’$$ являются серединами сторон $$BC$$, $$AC$$ и $$AB$$ соответственно.

Следовательно,

$$\frac{BA’}{A’C} = 1,\qquad \frac{CB’}{B’A} = 1,\qquad \frac{AC’}{C’B} = 1.$$

Перемножим эти отношения:

$$\frac{BA’}{A’C}\cdot \frac{CB’}{B’A}\cdot \frac{AC’}{C’B}=1.$$

По теореме Чевы, если для точек $$A’$$, $$B’$$ и $$C’$$ на сторонах треугольника выполняется

$$\frac{BA’}{A’C}\cdot \frac{CB’}{B’A}\cdot \frac{AC’}{C’B}=1,$$

то прямые $$AA’$$, $$BB’$$ и $$CC’$$ пересекаются в одной точке.

Значит, медианы треугольника пересекаются в одной точке.