Упр.17 Раздел 7 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Каждое ребро параллелепипеда равно 1 см. У одной из вершин параллелепипеда все три плоских угла острые, по 2a каждый. Найдите объем параллелепипеда.

Подробный ответ

Обозначим вершину параллелепипеда, у которой все три плоских угла равны $$2\alpha$$, через $$A$$. Опустим перпендикуляр $$A_1O$$ на плоскость основания. Из точек $$A_1$$ опустим перпендикуляры $$A_1M \perp AD$$ и $$A_1K \perp AB$$. Тогда по теореме о трёх перпендикулярах имеем $$OM \perp AD$$ и $$OK \perp AB$$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$\triangle AA_1M$$ и $$\triangle AA_1K$$. У них общая гипотенуза $$AA_1$$ и $$\angle A_1AM=\angle A_1AK=2\alpha$$, значит

$$AK=AM=AA_1\cos 2\alpha.$$

В треугольнике $$\triangle AMO$$ и $$\triangle AKO$$ общий катет $$AO$$, а также $$AM=AK$$, поэтому эти треугольники равны. Следовательно, $$\angle KAO=\angle MAO=\alpha$$ и

$$AO=\frac{AK}{\cos \angle KAO}=\frac{\cos 2\alpha}{\cos \alpha}.$$

Теперь найдём высоту параллелепипеда. В прямоугольном треугольнике $$\triangle AA_1O$$

$$ A_1O=\sqrt{AA_1^2-AO^2} =\sqrt{1-\frac{\cos^2 2\alpha}{\cos^2 \alpha}} =\sqrt{\frac{\cos^2 \alpha-\cos^2 2\alpha}{\cos^2 \alpha}}. $$

Преобразуем числитель:

$$ \cos^2 \alpha-\cos^2 2\alpha =(1-\cos^2 \alpha)-(1-\cos^2 2\alpha) =\cos^2 2\alpha-\cos^2 \alpha =\frac{\sin \alpha \cdot \sin 3\alpha}{1} $$

и получаем

$$ A_1O=\frac{\sqrt{\sin \alpha \cdot \sin 3\alpha}}{\cos \alpha}. $$

Площадь основания параллелепипеда равна

$$S=AB\cdot AD\cdot \sin 2\alpha=1\cdot 1\cdot \sin 2\alpha=\sin 2\alpha.$$

Тогда объём

$$ V=S\cdot A_1O =\sin 2\alpha \cdot \frac{\sqrt{\sin \alpha \cdot \sin 3\alpha}}{\cos \alpha} =\frac{2\sin \alpha \cos \alpha \sqrt{\sin \alpha \cdot \sin 3\alpha}}{\cos \alpha} =2\sqrt{\sin^3 \alpha \cdot \sin 3\alpha}. $$