Упр.17 Раздел 7 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Каждое ребро параллелепипеда равно 1 см. У одной из вершин параллелепипеда все три плоских угла острые, по $$2a$$ каждый. Найдите объем параллелепипеда.
Обозначим через $$A$$ вершину параллелепипеда, у которой все три плоских угла равны $$2\alpha$$. Опустим перпендикуляр $$A_1O$$ на плоскость основания и проведём в основании перпендикуляры $$A_1M\perp AD$$ и $$A_1K\perp AB$$. Тогда по теореме о трёх перпендикулярах получаем $$OM\perp AD$$ и $$OK\perp AB$$.
Рассмотрим прямоугольные треугольники $$\triangle AA_1M$$ и $$\triangle AA_1K$$. У них общая гипотенуза $$AA_1$$ и $$\angle A_1AM=\angle A_1AK=2\alpha$$, значит
$$AK=AM=AA_1\cos 2\alpha.$$
Из прямоугольных треугольников $$\triangle AMO$$ и $$\triangle AKO$$ имеем $$AO$$ — общий катет, $$AM=AK$$, поэтому $$\angle KAO=\angle MAO=\alpha$$ и
$$AO=\frac{AK}{\cos\angle KAO}=\frac{\cos 2\alpha}{\cos\alpha}.$$
Теперь в прямоугольном треугольнике $$\triangle AA_1O$$:
$$A_1O=\sqrt{AA_1^2-AO^2} =\sqrt{1-\frac{\cos^2 2\alpha}{\cos^2\alpha}} =\sqrt{\frac{\cos^2\alpha-\cos^2 2\alpha}{\cos^2\alpha}}.$$
Преобразуем числитель:
$$\cos^2\alpha-\cos^2 2\alpha =(1-\cos^2 2\alpha)- (1-\cos^2\alpha) =\frac{\sin\alpha\cdot \sin 3\alpha}{1}$$
поэтому
$$A_1O=\frac{\sqrt{\sin\alpha\cdot \sin 3\alpha}}{\cos\alpha}.$$
Площадь основания параллелепипеда равна
$$S=AB\cdot AD\cdot \sin 2\alpha=1\cdot 1\cdot \sin 2\alpha=\sin 2\alpha.$$
Тогда объём:
$$V=S\cdot A_1O =\sin 2\alpha\cdot \frac{\sqrt{\sin\alpha\cdot \sin 3\alpha}}{\cos\alpha} =2\sin\alpha\cdot \sqrt{\sin\alpha\cdot \sin 3\alpha}.$$
Ответ: $$2\sqrt{\sin^3\alpha\cdot \sin 3\alpha}.$$
