Упр.17 Раздел 6 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Через середину высоты конуса проведена прямая, параллельная образующей $$l$$. Найдите длину отрезка прямой, заключённого внутри конуса.

Пусть прямая пересекает конус в точках $$M$$ и $$N$$, тогда $$MN$$ — искомый отрезок.

Рассмотрим осевое сечение конуса $$ABC$$, проходящее через отрезок $$MN$$. Обозначим центр основания через $$O$$, а середину высоты конуса — через $$O_1$$. Тогда в треугольнике $$OCB$$ точка $$O_1$$ — середина $$OC$$, а прямая $$O_1N$$ параллельна образующей $$CB$$ по условию.

Следовательно, $$O_1N$$ — средняя линия треугольника $$OCB$$, значит

$$ON=NB=\frac{1}{2}R.$$

Тогда

$$NA=OA+ON=R+\frac{1}{2}R=\frac{3}{2}R.$$

Теперь рассмотрим треугольники $$AMN$$ и $$ACB$$. Они подобны, так как

$$\angle AMN=\angle ACB$$

и $$\angle A$$ — общий.

Отсюда

$$\frac{MN}{CB}=\frac{AN}{AB}.$$

Так как $$CB=l$$, $$AN=\frac{3}{2}R$$, $$AB=2R$$, то

$$MN=\frac{AN\cdot CB}{AB}=\frac{\frac{3}{2}R\cdot l}{2R}=\frac{3}{4}l.$$

Ответ: $$\frac{3}{4}l$$.