Упр.17 Раздел 6 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Через середину высоты конуса проведена прямая параллельно образующей l. Найдите длину отрезка прямой, заключенного внутри конуса.

Пусть прямая пересекает конус в точках $$M$$ и $$N$$. Тогда искомая длина — это $$MN$$.

Рассмотрим осевое сечение конуса $$ACB$$, проходящее через отрезок $$MN$$. Обозначим через $$O_1$$ середину высоты конуса, а через $$O$$ — центр основания. Тогда $$CO_1=O_1O$$, а так как прямая проведена через середину высоты параллельно образующей $$CB$$, то $$O_1N \parallel CB$$.

В треугольнике $$OCB$$ отрезок $$O_1N$$ — средняя линия, значит

$$O_1N=\frac{1}{2}CB=\frac{1}{2}R.$$

Тогда

$$NA=OA+ON=R+\frac{1}{2}R=\frac{3}{2}R.$$

Теперь рассмотрим треугольники $$AMN$$ и $$ACB$$. Они подобны, так как

$$\angle AMN=\angle ACB$$

как соответственные углы при параллельных прямых, и $$\angle A$$ — общий.

Следовательно,

$$\frac{MN}{CB}=\frac{AN}{AB}.$$

Подставим найденные отношения:

$$MN=\frac{AN\cdot CB}{AB}=\frac{\frac{3}{2}R\cdot l}{2R}=\frac{3}{4}l.$$

Ответ

$$\frac{3}{4}l$$