Упр.17 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- 3-17. Точка A находится на расстоянии $$a$$ от вершин равностороннего треугольника со стороной $$a$$. Найдите расстояние от точки A до плоскости треугольника.
Пусть $$H$$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $$A$$ на плоскость $$BDC$$. Тогда $$AH$$ — искомое расстояние.
Так как $$AB=AC=AD=a$$, то точка $$H$$ равноудалена от вершин треугольника $$BDC$$. Значит, $$H$$ — центр описанной окружности треугольника $$BDC$$. Но $$\triangle BDC$$ равносторонний, поэтому этот центр совпадает с точкой пересечения его медиан, высот и биссектрис.
Опустим высоту $$DD_1$$ треугольника $$BDC$$. Тогда
$$DD_1=\sqrt{BD^2-BD_1^2} =\sqrt{a^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2} =\sqrt{\frac{3}{4}a^2} =\frac{a\sqrt{3}}{2}.$$
В равностороннем треугольнике центр описанной окружности делит высоту в отношении $$2:1$$, считая от вершины, поэтому
$$DH=\frac{2}{3}DD_1=\frac{2}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a}{\sqrt{3}}.$$
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$ADH$$:
$$AH=\sqrt{AD^2-DH^2} =\sqrt{a^2-\left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^2} =\sqrt{a^2-\frac{a^2}{3}} =\sqrt{\frac{2a^2}{3}} =a\sqrt{\frac{2}{3}}.$$
Ответ: $$a\sqrt{\frac{2}{3}}$$.
