Упр.17 Раздел 2 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что если две плоскости, пересекающиеся по прямой $$a$$, пересекают плоскость $$\alpha$$ по параллельным прямым, то прямая $$a$$ параллельна плоскости $$\alpha$$ (рис. 32).

Пусть плоскости $$\beta$$ и $$\gamma$$ пересекают плоскость $$\alpha$$ по прямым $$b$$ и $$c$$ соответственно, причём $$b \parallel c$$.

Докажем, что $$a \parallel \alpha$$.

Предположим противное: $$a$$ не параллельна плоскости $$\alpha$$. Тогда прямая $$a$$ пересекает плоскость $$\alpha$$ в некоторой точке $$A$$.

Но $$a$$ — линия пересечения плоскостей $$\beta$$ и $$\gamma$$, значит точка $$A$$ принадлежит обеим плоскостям $$\beta$$ и $$\gamma$$. Следовательно, через точку $$A$$ проходят прямые $$b$$ и $$c$$, по которым плоскости $$\beta$$ и $$\gamma$$ пересекают плоскость $$\alpha$$.

Тогда прямые $$b$$ и $$c$$ пересекаются в точке $$A$$, что противоречит условию $$b \parallel c$$.

Противоречие показывает, что предположение неверно. Значит, прямая $$a$$ не пересекает плоскость $$\alpha$$, то есть

$$a \parallel \alpha$$.