Упр.17 Раздел 2 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 10 класс, Просвещение: Докажите, что если две плоскости, пересекающиеся по прямой а, пересекают плоскость а по параллельным прямым, то прямая а параллельна плоскости а (рис. 32).

Подробный ответ

Пусть плоскости $$\beta$$ и $$\gamma$$ пересекаются по прямой $$a$$, а плоскость $$\alpha$$ пересекает их по прямым $$b$$ и $$c$$ соответственно.

По условию $$b \parallel c$$.

Докажем, что $$a \parallel \alpha$$.

Предположим противное: прямая $$a$$ не параллельна плоскости $$\alpha$$. Тогда прямая $$a$$ пересекает плоскость $$\alpha$$ в некоторой точке $$A$$.

Но $$a$$ лежит в обеих плоскостях $$\beta$$ и $$\gamma$$, значит точка $$A$$ принадлежит и плоскости $$\beta$$, и плоскости $$\gamma$$. Следовательно, через точку $$A$$ проходят прямые $$b$$ и $$c$$, по которым эти плоскости пересекают плоскость $$\alpha$$.

Тогда прямые $$b$$ и $$c$$ пересекаются в точке $$A$$, что противоречит условию $$b \parallel c$$.

Противоречие показывает, что предположение неверно. Значит, прямая $$a$$ не пересекает плоскость $$\alpha$$, то есть $$a \parallel \alpha$$.