Упр.16 Раздел 9 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Найдите радиусы описанной $$R$$ и вписанной $$r$$ окружностей для треугольника со сторонами, равными: 1) $$35, 29, 8$$; 2) $$4, 5, 7$$.
Найдём площадь треугольника по формуле Герона:
$$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},$$
где $$p=\frac{a+b+c}{2}$$ — полупериметр.
Для радиусов вписанной и описанной окружностей используем формулы:
$$R=\frac{abc}{4S}, \qquad r=\frac{2S}{a+b+c}.$$
$$a=35,\; b=29,\; c=8.$$
Тогда
$$p=\frac{35+29+8}{2}=36.$$
Найдём площадь:
$$S=\sqrt{36\cdot(36-35)\cdot(36-29)\cdot(36-8)}=\sqrt{36\cdot1\cdot7\cdot28}=\sqrt{7056}=84.$$
Теперь вычислим радиусы:
$$R=\frac{35\cdot29\cdot8}{4\cdot84}=\frac{8120}{336}=\frac{145}{6},$$
$$r=\frac{2\cdot84}{35+29+8}=\frac{168}{72}=\frac{7}{3}.$$
$$a=4,\; b=5,\; c=7.$$
Тогда
$$p=\frac{4+5+7}{2}=8.$$
Найдём площадь:
$$S=\sqrt{8\cdot(8-4)\cdot(8-5)\cdot(8-7)}=\sqrt{8\cdot4\cdot3\cdot1}=\sqrt{96}=4\sqrt{6}.$$
Теперь вычислим радиусы:
$$R=\frac{4\cdot5\cdot7}{4\cdot4\sqrt{6}}=\frac{140}{16\sqrt{6}}=\frac{35}{4\sqrt{6}},$$
$$r=\frac{2\cdot4\sqrt{6}}{4+5+7}=\frac{8\sqrt{6}}{16}=\frac{\sqrt{6}}{2}.$$
Ответ: 1) $$R=\frac{145}{6},\; r=\frac{7}{3}$$; 2) $$R=\frac{35}{4\sqrt{6}},\; r=\frac{\sqrt{6}}{2}$$.
