Упр.16 Раздел 7 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Грани параллелепипеда — равные ром бы со стороной а и острым углом 60° Найдите объем параллелепипеда.

Подробный ответ

Обозначим через $$A_1O$$ высоту параллелепипеда, опущенную на плоскость основания. Проведём в основании перпендикуляры $$A_1M \perp AD$$ и $$A_1K \perp AB$$. Тогда по теореме о трёх перпендикулярах получаем:

$$OM \perp AD,\qquad OK \perp AB.$$

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$\triangle AA_1M$$ и $$\triangle AA_1K$$. У них общая гипотенуза $$AA_1$$, а углы при вершине $$A_1$$ равны $$60^\circ$$, значит

$$AM=AK=AA_1\cos 60^\circ=\frac{a}{2}.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$\triangle AMO$$. Так как $$AO$$ — общий катет, а $$AM=AK$$, то этот треугольник равнобедренный, следовательно

$$\angle KAO=\angle OAM=30^\circ.$$

Тогда

$$AO=\frac{AM}{\cos \angle MAO}=\frac{a/2}{\cos 30^\circ}=\frac{a}{\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{3}}{3}.$$

В прямоугольном треугольнике $$\triangle AA_1O$$ найдём высоту:

$$A_1O=\sqrt{AA_1^2-AO^2}=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{3}}=a\sqrt{\frac{2}{3}}.$$

Площадь основания параллелепипеда равна площади ромба:

$$S=AB\cdot AD\cdot \sin \angle BAD=a\cdot a\cdot \sin 60^\circ=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}.$$

Тогда объём параллелепипеда:

$$V=S\cdot A_1O=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}\cdot a\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{a^3}{\sqrt{2}}.$$