Упр.16 Раздел 7 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- 7–16. Грани параллелепипеда — равные ромбы со стороной $$a$$ и острым углом $$60^\circ$$. Найдите объём параллелепипеда.
Пусть $$A_1O$$ — высота параллелепипеда, опущенная на плоскость основания. Проведём в основании перпендикуляры $$A_1M \perp AD$$ и $$A_1K \perp AB$$. Тогда по теореме о трёх перпендикулярах имеем $$OM \perp AD$$ и $$OK \perp AB$$.
Рассмотрим прямоугольные треугольники $$\triangle AA_1M$$ и $$\triangle AA_1K$$. У них общая гипотенуза $$AA_1$$, а $$\angle A_1AM=\angle A_1AK=60^\circ$$, значит
$$AK=AM=AA_1\cos 60^\circ=\frac{a}{2}.$$
В треугольнике $$\triangle AMO$$ имеем $$AO$$ — общий катет, $$AM=AK$$, поэтому $$\triangle AMO \cong \triangle AKO$$. Отсюда $$\angle KAO=\angle OAM=30^\circ$$ и
$$AO=\frac{AM}{\cos \angle MAO}=\frac{a/2}{\cos 30^\circ}=\frac{a}{\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{3}}{3}.$$
Теперь в прямоугольном треугольнике $$\triangle AA_1O$$ найдём высоту:
$$A_1O=\sqrt{AA_1^2-AO^2} =\sqrt{a^2-\frac{a^2}{3}} =a\sqrt{\frac{2}{3}}.$$
Площадь основания параллелепипеда равна площади ромба:
$$S=AB\cdot AD\cdot \sin \angle BAD =a\cdot a\cdot \sin 60^\circ =\frac{a^2\sqrt{3}}{2}.$$
Тогда объём параллелепипеда:
$$V=S\cdot A_1O =\frac{a^2\sqrt{3}}{2}\cdot a\sqrt{\frac{2}{3}} =\frac{a^3}{\sqrt{2}}.$$
Ответ: $$\frac{a^3}{\sqrt{2}}$$.
