Упр.16 Раздел 6 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Высота конуса H. Ha каком расстоянии от вершины надо провести плоскость, параллельную основанию, чтобы площадь сечения была равна половине площади основания?

Подробный ответ

Сечение конуса плоскостью, параллельной основанию, подобно основанию. Поэтому все линейные размеры сечения относятся к соответствующим размерам основания как коэффициент подобия

$$k=\frac{d}{H},$$

где $$d$$ — расстояние от вершины до секущей плоскости, $$H$$ — высота конуса.

Тогда радиус сечения равен

$$r=kR=\frac{d}{H}R,$$

где $$R$$ — радиус основания.

Площади подобных фигур относятся как квадраты коэффициента подобия, значит

$$\frac{S_{\text{сеч}}}{S_{\text{осн}}}=k^2=\left(\frac{d}{H}\right)^2.$$

По условию $$S_{\text{сеч}}=\frac{1}{2}S_{\text{осн}}$$, следовательно

$$\left(\frac{d}{H}\right)^2=\frac{1}{2}.$$

Отсюда

$$\frac{d}{H}=\frac{1}{\sqrt{2}}, \qquad d=\frac{H}{\sqrt{2}}.$$