Упр.16 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- В правильной четырёхугольной призме через середины двух смежных сторон основания проведена плоскость, пересекающая три боковых ребра и наклонённая к плоскости основания под углом $$\alpha$$. Сторона основания равна $$a$$. Найдите площадь полученного сечения.
Пусть точки $$M$$ и $$N$$ — середины сторон $$AD$$ и $$DC$$ основания. Тогда плоскость сечения пересекает боковые рёбра $$AA_1$$, $$BB_1$$, $$CC_1$$, а её ортогональной проекцией на плоскость основания будет четырёхугольник $$ABCNM$$.
Площадь сечения связана с площадью его проекции формулой
$$S=\frac{S_{ABCNM}}{\cos\alpha}.$$
Найдём площадь проекции. Она равна площади квадрата основания минус площадь треугольника $$MND$$:
$$S_{ABCNM}=S_{ABCD}-S_{MND} =a^2-\frac12\cdot MD\cdot DN.$$
Так как $$M$$ и $$N$$ — середины сторон квадрата со стороной $$a$$, то
$$MD=DN=\frac a2.$$
Тогда
$$S_{ABCNM}=a^2-\frac12\cdot \frac a2\cdot \frac a2 =a^2-\frac{a^2}{8} =\frac{7a^2}{8}.$$
Следовательно, площадь сечения равна
$$S=\frac{7a^2}{8\cos\alpha}.$$
Ответ
$$\frac{7a^2}{8\cos\alpha}$$
