Упр.16 Раздел 2 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Дано: Две скрещивающиеся прямые a и b;
Доказать: Через любую из прямых a и b можно провести плоскость,
параллельную второй прямой;
Доказательство:
1) Отметим произвольную точку на прямой a, и построим через эту
точку прямую c, параллельную прямой b (она существует по теореме 2.1);
2) Построим плоскость через пересекающиеся прямые a и c;
3) Так как прямая b параллельна прямой c, лежащей в плоскости,
то она параллельна и самой плоскости (теорема 2.3), что и требовалось
доказать.

Подробный ответ

Пусть даны скрещивающиеся прямые $$a$$ и $$b$$.

Возьмём на прямой $$a$$ произвольную точку и проведём через неё прямую $$c$$, параллельную прямой $$b$$. Такая прямая существует по теореме о проведении через точку прямой, параллельной данной.

Прямые $$a$$ и $$c$$ пересекаются, значит, через них можно провести плоскость $$\alpha$$.

Так как $$b \parallel c$$, а прямая $$c$$ лежит в плоскости $$\alpha$$, то прямая $$b$$ параллельна плоскости $$\alpha$$.

Следовательно, через прямую $$a$$ можно провести плоскость, параллельную прямой $$b$$.

Аналогично, если взять произвольную точку на прямой $$b$$ и провести через неё прямую, параллельную $$a$$, то через прямую $$b$$ можно провести плоскость, параллельную прямой $$a$$.