Упр.16 Раздел 2 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Докажите, что через любую из двух скрещивающихся прямых можно провести плоскость, параллельную другой прямой.

Пусть даны скрещивающиеся прямые $$a$$ и $$b$$. Возьмём на прямой $$a$$ произвольную точку и проведём через неё прямую $$c$$, параллельную прямой $$b$$. Такая прямая существует по теореме о проведении через точку прямой, параллельной данной.

Прямые $$a$$ и $$c$$ пересекаются, значит, через них можно провести плоскость $$\alpha$$.

Так как прямая $$b$$ параллельна прямой $$c$$, лежащей в плоскости $$\alpha$$, и сама не лежит в этой плоскости, то по признаку параллельности прямой и плоскости имеем:

$$b \parallel \alpha.$$

Следовательно, через прямую $$a$$ можно провести плоскость, параллельную прямой $$b$$. Аналогично, меняя роли прямых $$a$$ и $$b$$, получаем, что через прямую $$b$$ можно провести плоскость, параллельную прямой $$a$$.