Упр.15 Раздел 9 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Найдите площади треугольников $$ABO$$, $$BCO$$, $$ACO$$, где $$O$$ — центр окружности, вписанной в треугольник $$ABC$$, у которого $$AB=28\ \text{см}$$, $$BC=15\ \text{см}$$, $$AC=41\ \text{см}$$.
Проведём из центра вписанной окружности $$O$$ перпендикуляры к сторонам треугольника: $$OE \perp AB$$, $$OM \perp BC$$, $$ON \perp AC$$. Тогда
$$OE=OM=ON=r,$$
где $$r$$ — радиус вписанной окружности.
Площади треугольников с общей вершиной $$O$$ выражаются так:
$$S_{ABO}=\frac{1}{2}\cdot AB \cdot OE=\frac{1}{2}\cdot 28 \cdot r=14r,$$
$$S_{BCO}=\frac{1}{2}\cdot BC \cdot OM=\frac{1}{2}\cdot 15 \cdot r=\frac{15}{2}r,$$
$$S_{ACO}=\frac{1}{2}\cdot AC \cdot ON=\frac{1}{2}\cdot 41 \cdot r=\frac{41}{2}r.$$
Найдём радиус $$r$$. Полупериметр треугольника $$ABC$$ равен
$$p=\frac{28+15+41}{2}=42.$$
По формуле Герона:
$$S_{ABC}=\sqrt{42\cdot(42-28)\cdot(42-15)\cdot(42-41)}$$
$$S_{ABC}=\sqrt{42\cdot 14\cdot 27\cdot 1}=126.$$
С другой стороны,
$$S_{ABC}=S_{ABO}+S_{BCO}+S_{ACO}$$
$$126=14r+\frac{15}{2}r+\frac{41}{2}r=42r,$$
откуда
$$r=3.$$
Тогда
$$S_{ABO}=14\cdot 3=42\ \text{см}^2,$$
$$S_{BCO}=\frac{15}{2}\cdot 3=22{,}5\ \text{см}^2,$$
$$S_{ACO}=\frac{41}{2}\cdot 3=61{,}5\ \text{см}^2.$$
Ответ: $$S_{ABO}=42\ \text{см}^2,\quad S_{BCO}=22{,}5\ \text{см}^2,\quad S_{ACO}=61{,}5\ \text{см}^2.$$
