Упр.15 Раздел 7 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Основание наклонного параллелепипеда — квадрат, сторона которого равна $$1\ \text{м}$$. Одно из боковых рёбер равно $$2\ \text{м}$$ и образует с каждой из прилежащих сторон основания угол $$60^\circ$$. Найдите объём параллелепипеда.

Пусть $$A_1$$ — верхняя вершина, а $$A_1A$$ — данное боковое ребро параллелепипеда, $$A_1A=2\text{ м}$$.

Опустим из точки $$A_1$$ перпендикуляры на стороны основания $$AD$$ и $$AB$$. Тогда

$$A_1A\cos 60^\circ=2\cdot \frac12=1\text{ м}.$$

Значит, $$AD=1\text{ м}$$ и $$AB=1\text{ м}$$, то есть основание $$ABCD$$ — квадрат со стороной $$1\text{ м}$$.

По теореме о трёх перпендикулярах получаем, что $$A_1C\perp BC$$, следовательно, $$A_1C$$ — высота параллелепипеда.

Найдём диагональ основания:

$$AC=AB\sqrt{2}=1\cdot \sqrt{2}=\sqrt{2}\text{ м}.$$

В прямоугольном треугольнике $$AA_1C$$:

$$A_1C=\sqrt{AA_1^2-AC^2}=\sqrt{2^2-(\sqrt{2})^2}=\sqrt{4-2}=\sqrt{2}\text{ м}.$$

Тогда объём параллелепипеда равен

$$V=S_{ABCD}\cdot A_1C=AB^2\cdot A_1C=1^2\cdot \sqrt{2}=\sqrt{2}\text{ м}^3.$$

Ответ: $$\sqrt{2}\text{ м}^3$$.