Упр.15 Раздел 7 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Основание наклонного параллелепипеда — квадрат, сторона которого равна 1 м. Одно из боковых ребер равно 2 ми образует с каждой из прилежащих сторон основания угол 60°. Найдите объем параллелепипеда.

Подробный ответ

Пусть основание параллелепипеда — квадрат $$ABCD$$ со стороной $$AB=AD=1$$ м, а боковое ребро $$AA_1=2$$ м.

Из точки $$A_1$$ опустим перпендикуляры на стороны $$AB$$ и $$AD$$ основания. По условию ребро $$AA_1$$ образует с каждой из этих сторон угол $$60^\circ$$, значит

$$ AA_1\cos 60^\circ = 2\cdot \frac12 = 1. $$

Следовательно, $$AB=AD=1$$, а точки $$B$$ и $$D$$ являются основаниями перпендикуляров.

По теореме о трёх перпендикулярах получаем, что $$A_1C \perp BC$$, значит $$A_1C$$ — высота параллелепипеда.

Так как $$ABCD$$ — квадрат, то диагональ

$$ AC=AB\sqrt2=\sqrt2\ \text{м}. $$

В прямоугольном треугольнике $$AA_1C$$ имеем

$$ A_1C=\sqrt{AA_1^2-AC^2}=\sqrt{2^2-(\sqrt2)^2}=\sqrt{4-2}=\sqrt2\ \text{м}. $$

Теперь найдём объём:

$$ V=S_{ABCD}\cdot A_1C=AB^2\cdot A_1C=1^2\cdot \sqrt2=\sqrt2\ \text{м}^3. $$